Dia do Pi: os algoritmos permitem obter novas cifras do π

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O número pi [(3,141592653589793238462643383...] continua encerrando mistérios que os matemáticos de todo o mundo buscam resolver. Por exemplo, ainda não se sabe se é um número normal na base 10, ou seja, se contém em seu desenvolvimento decimal qualquer sucessão finita de dígitos com a frequência que seu tamanho sugere. Uma maneira de investigar essa característica é fazer estudos estatísticos nos bilhões de cifras decimais conhecidas do número. Para isso, é necessário computar uma quantidade cada vez major de dígitos do pi.

Isto se consegue graças aos algoritmos que os matemáticos concebem com base nas fórmulas da teoria dos números em que o pi aparece. Os mais usados são os algoritmos iterativos e as séries. Um algoritmo iterativo é formado por valores iniciais e uma lista finita de operações que devem ser realizadas de forma cíclica, repetidamente, de modo que em cada reiteração o resultado vai sendo melhorado e, neste caso, permite obter mais cifras do pi. Quanto mais o resultado melhora em cada reiteração, e mais simples sejam as operações que envolve, melhor será o algoritmo. Por outro lado, uma série é uma soma infinita de termos, e se aproxima mediante uma soma finita; quantos mais elementos da série forem considerados, melhor será a aproximação.

Até poucos anos atrás, os recordes de número de cifras eram superados com supercomputadores, mas o último (de mais de 22 trilhões de cifras decimais) foi obtido com um programa, concebido pelo engenheiro de software Alexander Yee, que pode ser baixado em computadores pessoais. Para chegar a essa situação transcorreram muitos anos de história das fórmulas, cada vez mais eficientes.

Até meados do século XVII, o único método disponível (salvo variantes) era o criado por Arquimedes de Siracusa, aproximadamente no ano 250 a.C.. Consistia em considerar um hexágono inscrito e outro circunscrito a uma circunferência de diâmetro definido como uma unidade, e duplicar repetidamente o número de lados para aproximar π com os perímetros dos sucessivos polígonos.

O cálculo infinitesimal do século XVII propiciou a obtenção de algoritmos muito mais eficientes, entre os quais se destaca o do inglês John Machin, baseado na identidade π = 16 arctan (1/5) - 4 arctan (1/239) e na série para o arco tangente (arctan x), então já bem conhecida. Machin pôde obter facilmente 100 dígitos do pi com esta fórmula. Outras similares, porém mais eficientes, continuam entre as mais empregadas hoje em dia.

Leonhard Euler também se sentiu fascinado pela famosa constante e em 1748 conseguiu representar π como produto de duas integrais elípticas. Carl Friedrich Gauss utilizou esse resultado em 1800 para demonstrar uma fórmula que duplica em cada reiteração o número de decimais corretos. Mas as operações desse algoritmo envolvem raízes e são muito tediosas quando feitas à mão. Gauss não se deu ao trabalho de fazê-las, e a fórmula foi esquecida até ser redescoberta de forma independente pelos matemáticos E. Salamin e R. Brent, em 1970.

Em 1914 foi publicado um famoso artigo do matemático indiano Srinivasa Ramanujan com surpreendentes fórmulas para o inverso do π, em forma de séries infinitas. Na mais espetacular, cada elemento da soma gera oito dígitos corretos. Em 1985, William Gosper a implementou com um computador e bateu um recorde de mais de 17 milhões de cifras do π. Dois anos depois, os irmãos ucranianos David e Gregory Chudnovsky obtiveram uma fórmula do mesmo estilo, mas ainda mais impressionante: vai gerando os decimais de 14 em 14. Naquele mesmo ano os irmãos Jonathan e Peter Borwein obtiveram um algoritmo quártico, ou seja, que a cada reiteração quadruplica o número de dígitos corretos, utilizando equações modulares de Ramanujan.

Eu também me incluo entre os matemáticos fascinados com esses problemas. Em 2002 e 2003, demonstrei de uma forma completamente diferente algumas das séries do tipo Ramanujan para o inverso do π, usando para isso o chamado método WZ. Essas pesquisas também conduziram a um novo tipo de fórmula, de aspecto semelhante às de Ramanujan, mas para o inverso do quadrado de π.

Minhas fórmulas, embora de convergência rápida, não se encontram entre as que servem para bater recordes, mas propõem novos e interessantes desafios para os matemáticos. Por um lado, ainda não existe uma teoria que permita entendê-las em profundidade e, por outro, muitas delas continuam sem demonstração, apesar da evidência numérica de que devem ser corretas.

Jesús Guillera, matemático aposentado, é colaborador extraordinário da Universidade da Zaragoza (Espanha).