Matemático amador faz primeiro avanço dos últimos 60 anos em um famoso problema de análise combinatória

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O chamado problema de Hadwinger-Nelson é uma dessas questões matemáticas muito fáceis de formular e de entender, mesmo para os não especialistas, como o problema do mapa de quatro cores ou o último teorema de Fermat. Entretanto, apesar dessa aparente simplicidade, frequentemente a solução é extraordinariamente sofisticada e exige uma matemática só ao alcance de pouquíssimos especialistas. Apesar disso, o autor do primeiro avanço dos últimos 60 anos no problema de Hadwinger-Nelson foi um não especialista: Aubrey de Grey, um gerontologista bastante conhecido e midiático, que afirma ser possível deter o processo de envelhecimento.

O problema de Hadwiger-Nelson estuda colorações do plano. Trata-se de atribuir uma cor a cada ponto do plano de maneira que todos os pontos que estejam à distância 1 tenham uma cor diferente atribuída. Se queremos pintar desta maneira um plano, do tamanho que queiramos, qual é o menor número de cores necessárias? O problema foi exposto em 1950 por Edward Nelson, embora alguns resultados relacionados já aparecessem em um artigo de Hugo Hadwiger de 1945. Até recentemente, sabia-se que a resposta podia ser quatro, cinco, seis ou sete.

Realmente, não pode ser mais de sete. Com apenas sete cores se pode colorir o plano a partir de uma tesselação de hexágonos de diagonal ligeiramente inferior a um, em que todos os polígonos adjacentes tenham uma cor diferente. Partimos de um dos hexágonos e o pintamos de uma cor, e os seis adjacentes de outras seis cores diferentes (e assim sucessivamente). Se dois pontos estiverem à distância 1, como os hexágonos têm diâmetro menor que 1 cairão em pentágonos diferentes e adjacentes, por isso terão cor diferente.

Está claro então que sete é a cota máxima para o problema. Mas há uma mínima? Para ver que devem ser pelo menos quatro, bastaria encontrar uma configuração de quatro pontos que estejam todos a distância 1 do resto (que, portanto, não poderiam ser coloridos com apenas três cores). Mas o fato é que não existe: quatro pontos que distem todos 1 entre si formam os vértices de um tetraedro regular, cujos vértices não estão sobre o mesmo plano. Entretanto, são conhecidas algumas configurações de pontos que necessitam quatro cores (é impossível fazê-lo com três). Assim acontece como os sete pontos do chamado “fuso de Moser” que são os indicados na seguinte imagem:

Em 1961 os irmãos William e Leo Moser encontraram essa configuração, e desde então não haviam ocorrido avanços no problema. Agora Aubrey de Grey ofereceu uma configuração de pontos que necessitam de pelo menos cinco cores para serem coloridos – é impossível fazê-lo com quatro. Embora o exemplo dado por Grey contenha 1.581 pontos, o método para construi-lo é descritivo e não excessivamente complicado. Nos últimos dias conseguiu-se reduzir a configuração para 633 vértices, através de um projeto do Polymath (projetos colaborativos em que centenas de matemáticos trabalham através de um site), criado pelo próprio De Grey.

Com esse avanço, já sabemos que para poder colorir qualquer grafo serão necessárias cinco, seis ou sete cores diferentes. Para resolver o problema existem duas possibilidades: usando ideias parecidas com as de De Grey, encontrar estruturas com grande quantidade de pontos que exijam muitas cores para serem coloridas (ele encontrou uma que necessita cinco, seria o caso de encontrar outra com seis e, para solucionar o problema, necessitaríamos outra com sete). Então saberíamos que o número necessário para colorir o plano de forma que qualquer par de pontos a distância 1 tenham cores diferentes é sete. Se, pelo contrário, a solução não for sete, é possível que sejam necessárias novas técnicas totalmente desconhecidas até o momento, porque não bastaria ir descartando opções com contraexemplos – seria preciso encontrar um raciocínio geral.

Alberto Márquez é catedrático de Matemática Aplicada da Universidade de Sevilha, e Ágata Timón é diretora de Comunicação e Divulgação no Instituto de Ciências Matemáticas de Madri.