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Dia do pi: o número que fascina os matemáticos

O número pi ainda guarda muitos mistérios para especialistas do século XXI, e sua história está marcada por anedotas e relações interessantes

O número Pi.

O fato de a relação entre o perímetro de qualquer circunferência e seu diâmetro ser uma constante universal, a qual os gregos chamavam de pi, foi uma grande descoberta da antiguidade. Possuímos uma vasta gama de informações sobre o pi: sua expansão decimal começa com 3,14159... (com a ajuda de supercomputadores modernos, hoje conhecemos centenas de bilhões de suas casas decimais); é um número irracional, ou seja, não é igual ao quociente de dois inteiros; também não é raiz de nenhum polinômio cujos coeficientes sejam inteiros, e isso significa que o círculo não pode ser enquadrado com régua e compasso.

No entanto, o pi ainda guarda muitos mistérios para os matemáticos do século XXI, e sua história está marcada por curiosidades e relações interessantes. Uma das minhas favoritas é a seguinte: se somarmos os recíprocos de todos os números inteiros elevados ao quadrado, obtém-se pi ao quadrado dividido por 6 (o recíproco de um inteiro n é a fração 1/n). Não deixa de me surpreender que a proporção entre a circunferência e seu diâmetro apareça em uma soma na qual estão os recíprocos dos quadrados de todos os números.

Confesso ser alguém com sorte por ter conseguido uma nova maneira de calcular o valor dessa soma, que pode ser entendida por um estudante avançado do ensino médio e que ilustra claramente como, para demonstrar a verdade sobre algo tão discreto quanto os números inteiros, é conveniente recorrer a utensílios “contínuos” do cálculo diferencial. No entanto, o primeiro a saber seu valor foi o grande Leonhard Euler, por volta de 1734. Euler definiu a função z (n) para cada número inteiro n como a soma dos recíprocos das n-ésimas potências de inteiros.

Obteve uma fórmula geral que envolve o número pi quando a potência é um número par, mas o caso do expoente ímpar ainda é terra incógnita. Em 1978, o matemático francês Roger Apery demonstrou que a soma dos recíprocos dos cubos dos inteiros é um número irracional, mas sua engenhosa demonstração não serve para outros ímpares.

Se escolhermos aleatoriamente dois números inteiros, a probabilidade de que sejam primos é igual a 6 dividido pelo quadrado de Pi

Euler já havia notado a importância da função z (n) na teoria dos números primos, mas foi o matemático alemão Bernhard Riemann que revelou as consequências das propriedades da função z (s), com s não necessariamente inteiro, para conhecer a distribuição dos números primos na sequência de números inteiros. Assim, foi possível demonstrar o chamado “Teorema dos Números Primos”, segundo o qual a densidade de primos em torno de um número n é proporcional a 1 / (número de dígitos de n). Uma das importantes previsões feitas por Riemann sobre sua função, a chamada “Hipótese de Riemann”, até agora desafia matemáticos e faz parte da coleção “Problemas do Milênio”, cuja solução prevê um prêmio de um milhão de dólares (cerca de 3,2 milhões de reais).

Outra expressão intrigante na qual o pi aparece é de natureza aleatória. Se escolhermos aleatoriamente dois números inteiros, então a probabilidade de que sejam primos (ou seja, que não tenham divisores comuns) é igual a 6 dividido pelo quadrado do pi (0,611...). Para calcular essa proporção, Euler utilizou a função φ (n), que hoje chamamos de Euler em sua homenagem e que atribui a cada inteiro n o número de inteiros menores que são primos dele. Euler obteve uma expressão para as médias dessa função, que nos dá a probabilidade exigida e na qual explicitamente aparece o número pi através, precisamente, da soma dos recíprocos dos quadrados dos números inteiros.

A função de Euler também é importante por muitas outras razões: está presente em numerosas fórmulas da teoria dos números e em outros contextos da ciência, tais como na criptografia de mensagens e na segurança de nossas comunicações via Internet. Seguir seu rastro, e também o do pi, por meio dos trabalhos de Alan Turing e de outros lógicos-matemáticos, nos levaria à moderna teoria da computação que tanta coisa mudou em nosso mundo.

Mas, quanto mais aprendemos sobre o pi, mais mistérios surgem. Por exemplo, não sabemos se é um número normal, ou seja, se em sua expansão decimal em qualquer base podem ser encontradas todas as sequências finitas de dígitos com a frequência que lhes corresponda por sua dimensão. Também não sabemos se, ao somar ou multiplicar o número pi com e= 2.78... (tão importante quanto pi e cuja irracionalidade foi demonstrada por Euler), o resultado é racional ou irracional.

Antonio Córdoba é professor de análise da Universidade Autônoma de Madri e diretor do Instituto de Ciências Matemáticas.

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